BAB 2....UNGKAPAN KUADRATIK DAN PERSAMAAN KUADRATIK

Ungkapan Kuadratik

Ungkapan kuadratik (quadratic expressions) adalah ungkapan yang memenuhi ciri-ciri berikut:

1. Mempunyai hanya satu pemboleh ubah.
2. Mempunyai 2 sebagai kuasa tertinggi pemboleh-ubah. 
   Contoh: 
   3x² + 2x + 3 adalah ungkapan kuadratik, di mana 
   (i) pemboleh-ubahnya adalah x, 
   (ii) kuasa tertinggi x ialah 2.

Ungkapan kuadratik dengan tiga sebutan (three terms) adalah ungkapan berbentuk ax² + bx + c, dimana a ≠ 0, b ≠ 0 dan c ≠ 0, contohnya 2x² + 3x + 5.

Berikut adalah juga ungkapan kuadratik:

• dengan dua sebutan, contohnya 2x² + 4x, c = 0
• dengan satu sebutan, contohnya 5p², b = c = 0

Ungkapan kuadratik boleh dibentuk dengan mendarab dua ungkapan linear, contohnya (x - 1) (2x + 3) = 2x² + x - 3.

Ungkapan kuadratik boleh dibentuk untuk mewakili situasi dengan mewakilkan pembolehubah dalam masalah tersebut dengan simbol. Simbol biasanya adalah huruf, contohnya x. Dalam kes-kes tertentu, simbol yang digunakan adalah dinyatakan dalam permasalahan tersebut.

Contoh 1:

Nyatakan samada setiap yang berikut adalah ungkapan kuadratik dalam satu pemboleh-ubah. Beri alasan-alasan bagi jawapan.

• 5x² - 2x + 1
  Jwb:
  Ya. Ia mempunyai satu pemboleh ubah, x, dan kuasa tertinggi x ialah 2.
  
  
• -3g² 
  Jwb:
  Ya. Ia mempunyai satu pemboleh ubah, g, dan kuasa tertinggi g ialah 2.
  
  
• 3b - 4
  Jwb:
  Tidak. Walaupun terdapat hanya satu pemboleh ubah, b, tetapi kuasa tertinggi b ialah 1. 
  
  
• a² - b² 
  Jwb:
  Tidak. Ia mempunyai dua pemboleh ubah, a dan b.
  
  
• p² + 1
  Jwb:
  Ya. Ia mempunyai satu pemboleh ubah, p, dan kuasa tertinggi p ialah 2.
  
  
• x(x³ + x - 2)
  Jwb:
  Tidak. Ia tidak boleh ditulis dalam bentuk ax² + bx + c.
  
  

Contoh 2:
Darabkan ungkapan linear berikut.

• (2x - 3)(x + 1)
  Jwb:
  = 2x(x + 1) - 3(x + 1)
  = 2x² + 2x - 3x -3
  = 2x² - x - 3
• -y(y - 5)
  Jwb:
  = -y x y + (-y) x (-5)
  = -y² + 5y

Contoh 3:
Tulis ungkapan bagi luas segi empat tepat yang ditunjukkan dalam gambar rajah.

Jwb:
Luas = Panjang x Lebar
= (x + 1)(x + 3)
= x(x + 3) + 1(x + 3)
= x² + 3x + x + 3
= x² + 4x + 3

PEMFAKTORAN UNGKAPAN KUADRATIK

Pemfaktoran ungkapan kuadratik (factorisation of quadratic expressions) ialah suatu proses mencari dua ungkapan linear (linear expressions) yang hasil darabnya sama dengan ungkapan kuadratik tersebut.

Contohnya;

x² + x – 2 = (x – 1)(x + 2)

Ungkapan kuadratik berbentuk ax² + bx dan ax² + c boleh difaktorkan dengan mengenal pasti faktor sepunyanya (common factors).

Contoh 1

Faktorkan setiap yang berikut.

• 6 – 15m² 
  Jwb: 3(2 – 5m²)   ; 3 ialah faktor sepunya bagi 6 dan 15m².
• 10k² – 15k 
  Jwb: 5k(2k – 3)   ; 5k ialah faktor sepunya bagi 10k² dan 15k.

Ungkapan kuadratik px² – q dengan p dan q sebagai kuasa dua sempurna (perfect squares) boleh ditulis semula sebagai (ax) ² – b² dengan a² = p dan b²= q.

Seterusnya (ax) ² – b² difaktorkan dengan menggunakan identiti.

a² – b² = (a – b)(a + b)

Contoh 2

Faktorkan setiap yang berikut.

•  x² – 16 
  Jwb: 
  =  x² – 4²   ; 1 = 1² dan 16 = 4² adalah kuasa dua sempurna. 
  = (x – 4)(x + 4)
•  9m² – 25 
  Jwb: 
  = (3m) ² – 5²   ; 9 dan 25 adalah kuasa dua sempurna. 
  = (3m – 5)(3m + 5)

Pemfaktoran ungkapan kuadratik yang berbentuk x² + bx + c memberi (x + p)(x +q), manakala ungkapan kuadratik ax² + bx + c boleh difaktorkan kepada bentuk (mx + p)(nx + q).

Contoh 3

Faktorkan  x² – 8x + 15.

Jwb:

Dengan menggunakan kaedah cuba jaya (pemerinyuan)

= (x – 5)(x – 3)

Dimana x² – 3x – 5x + 15 = x² – 8x + 15

Contoh 4

Faktorkan 5x² – 12x – 9

Jwb:

Dengan menggunakan kaedah cuba jaya

= (5x + 3)(x – 3)

Dimana 5x² – 15x + 3x – 9 = 5x² – 12x – 9

Contoh 5

Faktorkan 4x² – 32x + 64

Jwb:

Keluarkan faktor sepunya, iaitu 4

= 4(x² – 8x + 16)

Kemudian faktorkan ungkapan (x² – 8x + 16)

= 4(x – 4)(x – 4)

= 4(x – 4) ²