BAB 7.....KEBERANGKALIAN

RUANG SAMPEL

Kesudahan yang mungkin bagi sesebuah eksperimen

Eksperimen (experiment) adalah satu proses atau tindakan dalam membuat pemerhatian untuk mendapatkan keputusan yang dikehendaki.

Hasil/kesudahan (outcomes) eksperimen adalah satu keputusan yang mungkin (kemungkinan) yang boleh diperolehi daripada eksperimen tersebut.

Contoh 1

Di dalam sebuah kotak, terdapat guli merah dan biru. Sebiji guli kemudiannya dikeluarkan secara rawak daripada kotak tersebut. Tentukan sama ada setiap kesudahan yang berikut adalah kesudahan/hasil yang mungkin.

• Guli merah dikeluarkan. 
  Jwb: Guli merah dikeluarkan adalah kesudahan yang mungkin.
  
  
• Guli biru dikeluarkan. 
  Jwb: Guli biru dikeluarkan adalah kesudahan yang mungkin.
  
  
• Guli kuning dikeluarkan. 
  Jwb: Guli kuning dikeluarkan adalah kesudahan yang tidak mungkin, kerana tidak ada guli kuning dalam kotak tersebut.

Contoh 2

Tarikh lahir bagi pelajar dalam sebuah kelas direkodkan. Tentukan sama ada setiap kesudahan berikut adalah kesudahan yang mungkin.

• 23 Jun 1997. 
  Jwb: 23 Jun 1997 adalah tarikh lahir yang mungkin.
  
  
• 30 Februari 1997. 
  Jwb: 30 Februari 1997 adalah tarkh lahir yang tidak mungkin, kerana tarikh 30 Februari adalah tidak wujud.
  
  
• 31 Disember 2020. 
  Jwb: 31 Disember 2020 adalah tarkh lahir yang tidak mungkin, kerana kita masih belum memasuki tahun 2020.

Penyenaraian semua kemungkinan kesudahan/hasil

Contoh 3

Satu eksperimen dijalankan dengan melambung duit syiling. Senaraikan semua kesudahan yang mungkin.

Jwb: Apabila duit syiling dilambung, kesudahan yang mungkin adalah 'kepala'(permukaan syiling yang bergambar) dan 'ekor' (permukaan syiling yang bernombor).

Menentukan ruang sampel

Ruang sampel (sample space) adalah set semua kesudahan yang mungkinbagi satu eksperimen.

Contoh 4

Satu huruf dipilih daripada perkataan 'HITUNG'

• Senaraikan semua kesudahan yang mungkin. 
  Jwb: Kesudahan yang mungkin adalah H, I, T, U, N dan G.
  
  
• Tulis ruang sampel, S, menggunakan tanda set. 
  Jwb: S = {H, I, T, U, N, G}. Ruang sampel biasanya ditandakan dengan huruf 'S'.

Contoh 5

Warna pelangi adalah disenaraikan. Tulis ruang sampel, S, menggunakan tanda set.

Jwb: Ruang sampel, S = {merah, jingga, kuning, hijau, biru, indigo, ungu}.

BAB 6.....STATSTIK

HISTOGRAM

>>> Pakej Pembelajaran & Penilaian Online <<<

Histogram adalah pembentangan grafik bagi suatu taburan kekerapan(frequency distribution).

Histogram dengan selang kelas saiz yang sama (class interval of equal size) mewakili kekerapan setiap selang kelas dengan segi empat tepat yang mempunyai lebar (breadth) yang sama, dan ketinggian setiap segi empat (rectangle) tersebut adalah berkadaran (proportional) dengan kekerapan(frequency).


Melukis Histogram

Jadual di bawah menunjukkan masa belajar (dalam jam) 40 orang pelajar dalam seminggu.

Masa (jam)	Bilangan pelajar
10 –14	6
15 – 19	8
20 – 24	12
25 – 29	8
30 – 34	5
35 – 39	1

Lukiskan histogram untuk mewakili taburan kekerapan.

Penyelesaian:

Langkah 1:
Cari sempadan bawah (lower boundary) dan sempadan atas (upper boundary) bagi setiap selang kelas (class interval) seperti yang ditunjukkan dalam jadual di bawah.

Masa (jam)	Bilangan pelajar	Sempadan bawah (lower boundary)	Sepadan atas (upper boundary)
10 – 14	6	9.5	14.5
15 – 19	8	14.5	19.5
20 – 24	12	19.5	24.5
25 – 29	8	24.5	29.5
30 – 34	5	29.5	34.5
35 – 39	1	34.5	39.5

Langkah 2:
Pilih skala yang sesuai untuk paksi melinntang/mengufuk (horizontal axis) dan paksi menegak (vertical axis) supaya data boleh mudah diplotkan pada graf dan histogram.

Paksi mengufuk/melintang mewakili selang kelas dan biasanya dilabelkan dengan sempadan kelas (class boundary).

Paksi menegak mewakili kekerapan (frequency) setiap kelas.

Langkah 3:
Lukis segi empat tepat (rectangle) untuk mewakili setiap selang kelas denganlebarnya (its breadth) adalah sama dengan saiz setiap selang kelas, danketinggiannya (its height) mewakili kekerapan bagi setiap selang kelas (class interval).

Mentafsir Histogram

Maklumat berikut boleh ditafsirkan daripada histogram.

1. Data kelas sepunya/biasa (common class), iaitu kelas mod (modal class)
2. Jumlah bilangan data yang dikaji atau dikutip (hasil tambah kekerapan)
3. Kekerapan (frequency) setiap kelas.
4. Bilangan data (atau peratusan data) yang lebih atau kurang daripada nilai tertentu sempadan kelas (class boundary).
5. Nilai min (mean) data terkumpul.
6. Nilai mod (mode).

Contoh 1:

Histogram dalam rajah di atas menunjukkan halaju beberapa buah kereta di beberapa lokasi tertentu lebuh raya. Berdasarkan histogram, jawab soalan-soalan berikut:

• Nyatakan kelas sepunya/biasa (common class) halaju.
  Jwb:
  Kelas sepunya/biasa halaju diberi oleh kelas mod (modal class), iaitu100 - 109 km/j.
• Kira jumlah kereta yang dibuat pemerhatian.
  Jwb:
  = Hasil tambah kekerapan (sum of frequencies)
  = 20 + 40 + 60 + 50 + 5
  = 175
• Kira bilangan kereta yang bergerak pada halaju 100km/j - 119km/j.
  Jwb:
  Bersamaan dengan hasil tambah kekerapan pada selang kelas ketiga dan keempat.
  = 60 + 50
  = 110
• Had laju di sepanjang lebuh raya ini ialah 120km/j. Kira peratusan (percentage) kereta yang bergerak pada dan melebihi had laju.
  Jwb:
  Jumlah kereta yang bergerak pada dan melebihi had laju (≥ 120km/j) adalah 5, bersamaan dengan kekerapan pada selang kelas ke-5.
  
  Oleh itu, peratusan kereta yang bergerak pada dan melebihi had laju adalah,
  = (5 / 175) x 100
  = 2.86 %
• Kira min (mean) halaju kereta.
  Jwb:
  Sediakan satu jadual kekerapan data yang dikumpulkan dan ditafsirkan daripada histogram, seperti yang ditunjukkan di bawah.
  

  Halaju (km/j)	Kekerapan (f)	Titik tengah (x)	Kekerapan x Titik tengah (fx)
  80 – 89	20	84.5	1690
  90 – 99	40	94.5	3780
  100 – 109	60	104.5	6270
  110 – 119	50	114.5	5725
  120 – 129	5	124.5	622.5
  Hasil tambah	∑f = 175		∑fx = 18087.5

  
  
  = 18087.5 / 175

• = 103.36 km/j

DRAF JADUAL SPM 2013

"Sedikit pengemumam...bagi calon spm 2012, keputusan SPM 2012 kemungkinan akan dikeluarkan pada 21 March 2013.Para calon boleh la mengambil keputusan di sekolah masing- masing pada pukol 10 pagi."

 Manakala bagi calon SPM 2013, draft jadual SPM 2013 boley la click  link dibawah....
 
  DRAF JADUAL SPM 2013

BAB 5.....GARIS LURUS

Kecerunan Garis Lurus

Kecerunan garis lurus (gradient of a straight line) ialah nisbah jarak mencancang/menegak (vertical distance) kepada jarak mengufuk (horizontal distance) di antara sebarang dua titik pada garis lurus.

Contohnya,

Dalam rajah di atas, jarak mencancang di antara A dan B ialah 3 unit, manakala jarak mengufuk di antara A dan B ialah 5 unit. Maka kecerunan garis lurus AB ialah

Kecerunan = Jarak mencancang / jarak mengufuk

= 3 / 5

= 0.6

BAB 4...PENAAKULAN MATEMATIK

Pernyataan

Pernyataan dan nilai kebenarannya

Pernyataan (statement) adalah suatu ayat yang bermaksud sama ada benar(true) atau palsu (false), tetapi bukan kedua-duanya (not both).

Ayat-ayat yang berbentuk soalan (question), arahan (instruction) dan seruan(exclamation) adalah bukan pernyataan.

Contoh 1

Tentu sama ada ayat-ayat berikut adalah suatu pernyataan atau bukan.

• 7 + 2 = 9
  Jwb: Pernyataan. Ia adalah benar.
• Sebuah pentagon mempunyai empat sisi.
  Jwb: Pernyataan. Ia adalah palsu.
• Senaraikan tiga nombor pertama dibahagikan dengan 10. 
  Jwb: Bukan pernyataan. Ayat ini adalah arahan.
• Jawab semua soalan yang diberi. 
  Jwb: Pernyataan. Ayat ini adalah arahan.
• Tolong!
  Jwb: Bukan pernyataan. Ayat ini adalah seruan.
• 1 adalah nombor perdana.
  Jwb: Pernyataan. Ia adalah benar.
• a x b x c = ac. 
  Jwb: Pernyataan. Ia adalah palsu.

Contoh 2

Tentukan samada setiap pernyataan berikut adalah benar atau palsu.

• Sebuah segitiga sisi sama mempunyai tiga sisi. 
  Jwb: Benar.
• 1 < -6
  Jwb: Palsu. 1 > -6.
• 0 > -9
  Jwb: Benar.
• 2.1 adalah suatu integer.
  Jwb: Palsu. 2.1 ialah perpuluhan.
• 2 + 2 < 5 
  Jwb: Benar. 4 < 5.

Pernyataan yang melibatkan nombor dan simbol matematik

Pernyataan sama ada benar atau palsu juga boleh dibina/bentuk dengan menggunakan nombor dan simbol matematik (numbers and mathematical symbols).

Contoh 3

Tulis satu pernyataan (i) benar dan satu pernyataan (ii) palsu yang melibatkan:

• 2, 4, 8, ÷ , = 
  Jwb:
  i) 8 ÷ 4 = 2. Benar. 
  ii) 4 ÷ 2 = 8. Palsu.
• {p, q, r, s}, {t, v}, { }, ∩, = 
  Jwb:
  i) {p, q, r, s} ∩ {t, v} = { }. Benar. 
  ii) {p, q, r, s} ∩ { } = {t, v}. Palsu.

BAB 3....SET

Takrifan Set

Set ialah himpunan (collection or group) sekumpulan objek dengan ciri sepunya (common characteristics) tertentu. Setiap objek tersebut dikenali sebagai unsur (elements).

Set kebiasaanya dinyatakan atau ditulis dengan menggunakan tatatanda set, { } dalam 3 cara. Contohnya, bagi satu set yang ditakrifkan sebagai ‘set nombor perdana yang kurang daripada 11’:

1. Secara perihalan (description)
   {Nombor perdana yang kurang daripada 11}
2. Menyenaraikan unsur (roster)
   {2, 3, 5, 7}
3. Menggunakan pembolehubah (set-builder notation)
   {x: x ialah nombor perdana yang kurang daripada 11}
   atau
   { x: x ialah nombor perdana dan  x < 11}

Set juga boleh dilabel dengan huruf besar (capital letters), contohnya B = {2, 3, 5, 7}

Unsur yang sama (same elements) dalam sesuatu set tidak perlu diulang(need not be repeated). Contohnya, {huruf bagi perkataan KATAK} = {K, A, T}

Simbol ∈ digunakan bagi menunjukkan sesuatu objek adalah unsur bagi(element of) sesuatu set.

Simbol ∉ bermakna ‘bukan unsur bagi’ (does not belong to).


Contohnya, B = {2, 4, 6, 8}, 5 ∉ B 

Selain daripada menulis set secara perihalan dan menggunakan tatatanda set { }, bentuk geometri seperti bulatan, segiempat tepat, segitiga dan sebagainya boleh digunakan untuk mewakili sesuatu set.

Rajah di bawah dikenali sebagai gambar rajah Venn (Venn diagram). Contohnya:

A = {2, 4, 6, 8} B = {3, 5, 7, 9}

Setiap titik di sebelah kiri (dot to the left) objek dalam gambarajah Venn mewakili satu unsur

BAB 2....UNGKAPAN KUADRATIK DAN PERSAMAAN KUADRATIK

Ungkapan Kuadratik

Ungkapan kuadratik (quadratic expressions) adalah ungkapan yang memenuhi ciri-ciri berikut:

1. Mempunyai hanya satu pemboleh ubah.
2. Mempunyai 2 sebagai kuasa tertinggi pemboleh-ubah. 
   Contoh: 
   3x² + 2x + 3 adalah ungkapan kuadratik, di mana 
   (i) pemboleh-ubahnya adalah x, 
   (ii) kuasa tertinggi x ialah 2.

Ungkapan kuadratik dengan tiga sebutan (three terms) adalah ungkapan berbentuk ax² + bx + c, dimana a ≠ 0, b ≠ 0 dan c ≠ 0, contohnya 2x² + 3x + 5.

Berikut adalah juga ungkapan kuadratik:

• dengan dua sebutan, contohnya 2x² + 4x, c = 0
• dengan satu sebutan, contohnya 5p², b = c = 0

Ungkapan kuadratik boleh dibentuk dengan mendarab dua ungkapan linear, contohnya (x - 1) (2x + 3) = 2x² + x - 3.

Ungkapan kuadratik boleh dibentuk untuk mewakili situasi dengan mewakilkan pembolehubah dalam masalah tersebut dengan simbol. Simbol biasanya adalah huruf, contohnya x. Dalam kes-kes tertentu, simbol yang digunakan adalah dinyatakan dalam permasalahan tersebut.

Contoh 1:

Nyatakan samada setiap yang berikut adalah ungkapan kuadratik dalam satu pemboleh-ubah. Beri alasan-alasan bagi jawapan.

• 5x² - 2x + 1
  Jwb:
  Ya. Ia mempunyai satu pemboleh ubah, x, dan kuasa tertinggi x ialah 2.
  
  
• -3g² 
  Jwb:
  Ya. Ia mempunyai satu pemboleh ubah, g, dan kuasa tertinggi g ialah 2.
  
  
• 3b - 4
  Jwb:
  Tidak. Walaupun terdapat hanya satu pemboleh ubah, b, tetapi kuasa tertinggi b ialah 1. 
  
  
• a² - b² 
  Jwb:
  Tidak. Ia mempunyai dua pemboleh ubah, a dan b.
  
  
• p² + 1
  Jwb:
  Ya. Ia mempunyai satu pemboleh ubah, p, dan kuasa tertinggi p ialah 2.
  
  
• x(x³ + x - 2)
  Jwb:
  Tidak. Ia tidak boleh ditulis dalam bentuk ax² + bx + c.
  
  

Contoh 2:
Darabkan ungkapan linear berikut.

• (2x - 3)(x + 1)
  Jwb:
  = 2x(x + 1) - 3(x + 1)
  = 2x² + 2x - 3x -3
  = 2x² - x - 3
• -y(y - 5)
  Jwb:
  = -y x y + (-y) x (-5)
  = -y² + 5y

Contoh 3:
Tulis ungkapan bagi luas segi empat tepat yang ditunjukkan dalam gambar rajah.

Jwb:
Luas = Panjang x Lebar
= (x + 1)(x + 3)
= x(x + 3) + 1(x + 3)
= x² + 3x + x + 3
= x² + 4x + 3

PEMFAKTORAN UNGKAPAN KUADRATIK

Pemfaktoran ungkapan kuadratik (factorisation of quadratic expressions) ialah suatu proses mencari dua ungkapan linear (linear expressions) yang hasil darabnya sama dengan ungkapan kuadratik tersebut.

Contohnya;

x² + x – 2 = (x – 1)(x + 2)

Ungkapan kuadratik berbentuk ax² + bx dan ax² + c boleh difaktorkan dengan mengenal pasti faktor sepunyanya (common factors).

Contoh 1

Faktorkan setiap yang berikut.

• 6 – 15m² 
  Jwb: 3(2 – 5m²)   ; 3 ialah faktor sepunya bagi 6 dan 15m².
• 10k² – 15k 
  Jwb: 5k(2k – 3)   ; 5k ialah faktor sepunya bagi 10k² dan 15k.

Ungkapan kuadratik px² – q dengan p dan q sebagai kuasa dua sempurna (perfect squares) boleh ditulis semula sebagai (ax) ² – b² dengan a² = p dan b²= q.

Seterusnya (ax) ² – b² difaktorkan dengan menggunakan identiti.

a² – b² = (a – b)(a + b)

Contoh 2

Faktorkan setiap yang berikut.

•  x² – 16 
  Jwb: 
  =  x² – 4²   ; 1 = 1² dan 16 = 4² adalah kuasa dua sempurna. 
  = (x – 4)(x + 4)
•  9m² – 25 
  Jwb: 
  = (3m) ² – 5²   ; 9 dan 25 adalah kuasa dua sempurna. 
  = (3m – 5)(3m + 5)

Pemfaktoran ungkapan kuadratik yang berbentuk x² + bx + c memberi (x + p)(x +q), manakala ungkapan kuadratik ax² + bx + c boleh difaktorkan kepada bentuk (mx + p)(nx + q).

Contoh 3

Faktorkan  x² – 8x + 15.

Jwb:

Dengan menggunakan kaedah cuba jaya (pemerinyuan)

= (x – 5)(x – 3)

Dimana x² – 3x – 5x + 15 = x² – 8x + 15

Contoh 4

Faktorkan 5x² – 12x – 9

Jwb:

Dengan menggunakan kaedah cuba jaya

= (5x + 3)(x – 3)

Dimana 5x² – 15x + 3x – 9 = 5x² – 12x – 9

Contoh 5

Faktorkan 4x² – 32x + 64

Jwb:

Keluarkan faktor sepunya, iaitu 4

= 4(x² – 8x + 16)

Kemudian faktorkan ungkapan (x² – 8x + 16)

= 4(x – 4)(x – 4)

= 4(x – 4) ²